পরিসংখ্যানের গড় নির্ণয়ের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ একটি পদ্ধতি হচ্ছে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়। আজ আমরা সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সূত্র এবং পদ্ধতি সম্পর্কে জানার চেষ্টা করব। এই জানার প্রক্রিয়ায় আমরা সাথে সাথে উদাহারণও দেখব যাতে করে আমরা জানার সাথে সাথে বুঝেও যেতে পারি। তাহলে শুরু করা যাক।
নিচের প্রশ্নটির দিকে লক্ষ্য করো।
কোনো স্কুলের ৯ম শ্রেণির ৪৯ জন শিক্ষার্থীর ওজন কিলোগ্রাম এককে নিচে দেয়া হলো।
৫০, ৪৫, ৫১, ৫৫, ৫৬, ৫৭, ৬০, ৫৬, ৬০, ৫৮, ৬১, ৬০, ৬২, ৬০, ৬৪, ৬৩, ৬১, ৬৬, ৬৩, ৬০, ৬৭, ৬১, ৭০, ৭০, ৬০, ৬৩, ৬৮, ৬১, ৫০, ৫৫, ৫৬, ৬৩, ৫৭, ৬০, ৬২, ৫৬, ৬৭, ৭০, ৬৯, ৭০, ৬৯, ৬৮, ৭০, ৬০, ৫৮, ৫৬, ৬১, ৬৪, ৬৩।
প্রশ্ন: প্রদত্ত উপাত্তের গড় সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।
এবার এই উপাত্তের গড় যদি আমরা সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে নির্ণয় করতে চাই, তবে আমাদেরকে মূল কাজ করতে হবে দুটি। একটি গণসংখ্যা নিবেশন সারণি এবং অন্যটি গড় নির্ণয়ের সারণি। গনসংখ্যা নিবেশণ সারণি সাধারণত সৃজনশীল প্রশ্নে গড় নির্ণয়ের প্রশ্নের আগেই করা হয়ে থাকে। তাই সেটি আলাদাভাবে নির্ণয় করার ঝামেলা পোহাতে হবে না। তবে যেহেতু আমাদের এই আর্টিকেলটি শুধু সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের জন্য, তাই আমরা এখানে দুটি সারণিই তৈরি করব এই প্রশ্নের উত্তর করতে গিয়ে।
ধাপ ১: গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি
গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করতে আমাদের প্রয়োজন শ্রেণি সংখ্যা। শ্রেণি সংখ্যা নির্ণয় করতে গেলে মূলত দুটি তথ্য লাগবে। একটি হচ্ছে পরিসর এবং অন্যটি শ্রেণি ব্যবধান। শ্রেণি ব্যবধান কত ধরতে হবে তা অনেক সময় প্রশ্নে দেয়া থাকে। দেয়া না থাকলে তা নিজের সুবিধামতো বা ইচ্ছামতো ধরে নেয়া যাবে। আমরা এই প্রশ্নের উত্তর করতে গিয়ে ধরে নিলাম শ্রেণি ব্যবধান ৫।
এখন পরিসর নির্ণয় করতে হবে। পরিসর নির্ণয়ের বিস্তারিত জানতে পড়ুন: পরিসর নির্ণয়ের সূত্র ও অন্যান্য জিজ্ঞাসা। এই আর্টিকেল থেকে পরিসর নির্ণয়ের নিয়ম জেনে নিয়ে আমরা এই উপাত্তের পরিসর নির্ণয় করলে পাই,
পরিসর = (৭০-৪৫)+১=২৬
এখন শ্রেণি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, শ্রেণি সংখ্যা = (পরিসর `\div` শ্রেণি ব্যবধান)।
এই সূত্র অনুযায়ী ভাগ করে যদি ভাগফল ভগ্নাংশে আসে, তবে পূর্ণ সংখ্যা যা থাকবে তার পরবর্তী পূর্ণসংখ্যা নিতে হবে। যেমন, যদি ভাগফল আসে ৫.১ তবে শ্রেণিসংখ্যা হবে ৬।
এই নিয়ম মেনে আমরা গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরির জন্য শ্রেণি সংখ্যা নির্ণয় করতে গেলে পাই,
শ্রেণি সংখ্যা = ২৬ `\div` ৫ = ৫.২ ; অর্থাৎ শ্রেণিসংখ্যা ৬।
তাহলে এখন একটি সারণি তৈরি করে ট্যালির মাধ্যমে গনসংখ্যা নির্ণয় করতে হবে। আমরা আপাতত ট্যালি চিহ্ন বাদ দিয়ে সরাসরি কোন ব্যপ্তি কতটি উপাত্ত আছে তা নিয়ে গনসংখ্যা সারণি তৈরি করছি। তবে পরীক্ষায় আসলে ট্যালি করতে হবে।
| শ্রেণি ব্যবধান | ট্যালি | গণসংখ্যা |
|---|---|---|
|
৪৫-৪৯
|
নিজেরা করে নিও
|
১
|
|
৫০-৫৪
|
নিজেরা করে নিও
|
৩
|
|
৫৫-৫৯
|
নিজেরা করে নিও
|
১১
|
|
৬০-৬৪
|
নিজেরা করে নিও
|
২২
|
|
৬৫-৬৯
|
নিজেরা করে নিও
|
৭
|
|
৭০-৭৪
|
নিজেরা করে নিও
|
৫
|
|
মোট
|
|
৪৯
|
এবার এই সারণি থেকে আমাদেরকে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ২: সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়
সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের জন্য আমাদেরকে আরও একটি সারণি তৈরি করতে হবে। এই সারণিতে রো সংখ্যা সমান থাকবে তবে কলাম বাড়বে। এক্ষেত্রে যে কলামগুলো থাকবে তা হলো:
- শ্রেণি ব্যবধান
- শ্রেণি মধ্যমান (`x_i`)
- গণসংখ্যা (`f_i`)
- বিচ্যুতি সংখ্যা (`u_i`)
- গণসংখ্যা `\times` বিচ্যুতি (`f_iu_i`)
আমরা আপাতত সারণিটি তৈরি করে নিচ্ছি, তারপর ব্যাখ্যা করব।
| শ্রেণি ব্যবধান | শ্রেণি মধ্যমান (`x_i`) | গণসংখ্যা (`f_i`) | বিচ্যুতি (`u_i`) | (`f_iu_i`) |
|---|---|---|---|---|
|
৪৫-৪৯
|
৪৭ |
১
|
-৩
|
-৩
|
|
৫০-৫৪
|
৫২ |
৩
|
-২
|
-৬
|
|
৫৫-৫৯
|
৫৭ |
১১
|
-১
|
-১১
|
|
৬০-৬৪
|
৬২ (a) |
২২
|
০
|
০
|
|
৬৫-৬৯
|
৬৭ |
৭
|
১
|
৭
|
|
৭০-৭৪
|
৭২ |
৫
|
২
|
১০
|
|
|
n=৪৯
|
|
`\sum f_iu_i` = -৩
|
এবার এই ছক থেকে মান নিয়ে শুধু সূত্রে বসালেই আমরা আমাদের গড় পেয়ে যাব। তবে তার আগে এই সারণিটি কিভাবে তৈরি করলাম তা ব্যাখ্যা করা যাক।
- শ্রেণি ব্যবধান হয়তো দেয়া থাকবে, নয়তো নিজেদের মতো করে ধরে নিতে হবে। আমরা এখানে ধরে নিয়েছি শ্রেণি ব্যবধান ৫। শ্রেণি ব্যবধানকে সূত্রে h দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
- শ্রেণি ব্যবধান এর নিম্নসীমা এবং উচ্চসীমা যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ করে শ্রেণি মধ্যমান নির্ণয় করি। যেমন, (৪৫+৪৯) `\div` ২ = ৪৭।
- এবার যে শ্রেণিতে গণসংখ্যা সবথেকে বেশি, সেই শ্রেণিটিই হবে অনুমিত শ্রেণি এবং ওই শ্রেণির শ্রেণি মধ্যমান হচ্ছে a।
- বিচ্যুতি নির্ণয়ের সূত্র হচ্ছে, `\frac{x_i-a}h`। এই সূত্র ব্যবহার করে আমরা যদি ৫০-৫৪ শ্রেণির বিচ্যুতি নির্ণয় করতে চাই তবে আমাদের ক্যালকুলেশন হবে `\frac{52-62}5` বা -২। এটি হচ্ছে বিচ্যুতি নির্ণয়ের মূল নিয়ম। তবে আমরা পরীক্ষার খাতায় এভাবে করব না। আমরা যে শ্রেণিতে a পাব (এক্ষেত্রে a হচ্ছে ৬২ যা ৬০-৬৪ শ্রেণির মধ্যমান) সে শ্রেণির বিচ্যুতি ০ ধরব এবং এর উপরের ঘরগুলোতে এক এক করে মাইনাস মান (অর্থাৎ -১, -২, -৩...) দেব এবং নিচের দিকে প্লাস মান (অর্থাৎ ১, ২, ৩...) দিয়ে দেব।
- মোট গণসংখ্যাকে n ধরব।
- শেষ ঘরের জন্য আমরা স্ব স্ব ঘরের গণসংখ্যা ও বিচ্যুতি গুন করব।
- এদের যোগফল নির্ণয় কর। এক্ষেত্রে যোগফল এসেছে (-৩-৬-১১+০+৭+১০) বা -৩।
ব্যাস, আশা করি এপর্যন্ত সবাই পুরোপুরি বুঝে গেছো। এবার আমাদের পালা সূত্র বসানো এবং ক্যালকুলেশন করা।
বাকি নিয়মগুলো শেখার আগে একটু অন্য কথা বলি। "সহজ ব্যাখ্যায় ARTICLE" PDF বইটি ডাউনলোড করতে চান? পাঠগৃহ ডট কমের এই ইবুক পেতে ক্লিক করুন Download Use of Article লেখায়।
ধাপ ৩: সূত্র বসিয়ে হিসাব করা
সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সূত্র হচ্ছে,
গড়, `\overline x=a+\frac{\sum_{}^{}f_iu_i}n\times h`
এই সূত্রে মান বসিয়ে হিসাব করলেই নির্ণয় হয়ে যাবে কাঙ্খিত গড়। তবে এখানে হিসাব করতে অনেকেই ভুল করে থাকে। যোগ-বিয়োগের ক্ষেত্রে আগে পরে হওয়ায় কিংবা ক্যালকুলেটরে ঠিকভাবে Syntax Input দিতে না পারায় এই সমস্যা হয়। তাই আমরা আলাদা আলাদা হবে পুরো প্রক্রিয়াটা সম্পন্ন করব। তার আগে মান গুলো দেখে নেয়া যাক।
এখানে a = ৬২, `\sum f_iu_i` = -৩, n= ৪৯ এবং h=৫।
তাহলে আমরা সূত্র বসাই। আমরা প্রথমে a+ এর পরের অংশটুকুর হিসাব করে ফেলব। অর্থাৎ, `\sum f_iu_i` এর সাথে h গুন করে তাকে n দ্বারা ভাগ করব। তারপর থাকে চিহ্ন সহ a এর সাথে যোগ করব।
এই প্রক্রিয়ায় এই অংকটি করলে যা হয় তা হলো:
- -৩ এর সাথে ৫ গুন করলে হয় -১৫।
- -১৫ কে ৪৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হয় -০.৩০৬।
- এবার ৬২ এর সাথে (-০.৩০৬) যোগ করলে পাই ৬২-০.৩০৬ বা ৬১.৬৯৪।
- এটাই উত্তর, এটাই সেই গড় যা আমরা খুঁজছিলাম।
অর্থাৎ,
গড়, `\overline x=a+\frac{\sum_{}^{}f_iu_i}n\times h`
বা, `\overline x`=৬২+{(-৩`\times`৫)`\div`৪৯}
বা, `\overline x`= ৬২ + (-০.৩০৬)
বা, `\overline x` = ৬২-০.৩০৬
`\therefore` `\overline x` = ৬১.৬৯৪
সুতরাং, নির্ণেয় গড় ৬১.৬৯৪ কেজি (প্রায়)
তো আশা করছি আজকে পর থেকে আর সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ে কখনো ভুল হবে না। যেকোনো ধরনের জিজ্ঞাসা থাকলে যোগাযোগ করো আমাদের ফেসবুক পেজে। আমাদের ফ্রি পিডিএফ সমূহ চাইলে নিচের বাম দিকে থাকা 'ফ্রি ইবুক' বাটনে ক্লিক করো। আমাদের লেখাগুলো সবার আগে পেতে চাইলে পুস নোটিফিকেশন অন করুন অথবা আমাদেরকে ফেসবুকে ফলো করুন।
আরও পড়ুন:
