১. কোনো এক বৃষ্টির দিনে মাহবুব জানালার পাশে দাঁড়িয়ে দেখছিলেন বৃষ্টি উলম্বভাবে 6 km/h বেগে পরছে। মাহবুব লক্ষ্য করলেন রাস্তায় একজন লোক 3 km/h বেগে হাটছে এবং অপরজন 9 km/h বেগে সাইকেল চালাচ্ছে। তাদের উভয়ের ছাতা ভিন্ন কোণে বাঁকা করে ধরা।
ক) স্বাধীন ভেক্টর কাকে বলে?
খ) কোনো রাশির পরিমাপ প্রকাশ করতে এককের প্রয়োজন হয় কেন?
গ) উদ্দীপকে হেটে চলা লোকটির সাপেক্ষে পড়ন্ত বৃষ্টির লব্ধি বেগ কত?
ঘ) হেটে চলা লোকটির এবং সাইকেলে চলন্ত লোকটির ছাতা একই রকমভাবে বাকানো নয় কেন? গাণিতিক যুক্ত সহ আলোচনা কর।
২. দুটি বিন্দুর ত্রিমাত্রিক স্থানাংক ব্যবস্থায় স্থানাংকদ্বয় যথাক্রমে A(1, 0, -1) এবং B(1, 1, 0)।
ক) কার্ল কাকে বলে?
খ) আমাদের পায়ে হাটা ভেক্টর বিভাজনের মাধ্যমে কিভাবে হয়? ব্যাখ্যা কর।
গ) AB ভেক্টরের সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর।
ঘ) দুটি বিন্দু A এবং B এর অবস্থান ভেক্টরদ্বয়ের X অক্ষের উপর লম্ব অভিক্ষেপ এর তুলনামূলক বিশ্লেষণ কর।
৩. তিনটি ভেক্টর যথাক্রমে P = 3i + 2j - 4k, Q = 2i + 3j - k এবং F = (`2x^2 i + 3y^2 j + 4 z^2`)
ক) বিপরীত ভেক্টর কাকে বলে?
খ) ভেক্টরের ধর্মগুলো ব্যাখ্যা কর।
গ) P দ্বারা ব্যাসার্ধ ভেক্টর এবং F দ্বারা বল বুঝালে (2, -3, 1) বিন্দুতে টর্ক কত হবে?
ঘ) বল ক্ষেত্রটি সংরক্ষণশীল না অসংরক্ষণশীল তা গাণিতিকভাবে দেখাও।
৪. P = 3i + 2j - 4k, Q = 2i + 3j - k দুটি ভেক্টর।
ক) সরণ ভেক্টর কাকে বলে?
খ) কৃত কাজ একটি স্কেলার রাশি ব্যাখ্যা কর।
গ) ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের মান নির্ণয় কর।
ঘ) গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর যে, ভেক্টরদ্বয় দ্বারা সৃষ্ট সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ভেক্টরদ্বয়ের ভেক্টর গুণের গুণফল মানের সমান হবে।
৫. রিয়ান একদিন একটি স্রোত আছে এমন নদীতে সাঁতার কাটতে গেলো। নদীর স্রোত পশ্চিম দিক থেকে পূর্ব দিকে 2 km/h বেগে প্রবাহিত হচ্ছে। রিয়ান নদীর দক্ষিণ পাড় হতে উত্তর পাড়ে যাবার জন্য 4 km/h বেগে স্রোতের দিকের সাথে একটি কোণ করে সাঁতার কাটতে শুরু করল৷
ক) একক ভেক্টর কাকে বলে?
খ) ডাইভারজেন্স বলতে কি বুঝ?
গ) উদ্দীপকের আলোকে রিয়ানের সাঁতারের দিক নির্ণয় কর।
ঘ) ক্ষুদ্রতম পথে এবং ক্ষুদ্রতম সময়ে নদী পাড়ি দেওয়ার সময় সমান হবে কি-না গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে ব্যাখ্যা কর।
৬. একজন সাঁতারু 1.5 km প্রসস্ত একটি নদী 4 km/h বেগে স্রোতের সাথে 30° কোণ করে সাঁতার কাটছে। ওই নদীতে স্রোতের বেগ 2 km/h।
ক) সদৃশ ভেক্টর কাকে বলে?
খ) কার্লের ভৌতিক তাৎপর্য ব্যাখ্যা কর।
গ) সাঁতারুকে নদীর অপর পাড়ে পৌছাতে হলে কত পথ সাঁতার কাটতে হবে?
ঘ) সাঁতারু সরাসরি অপর পাড়ে পৌঁছাতে সক্ষম হবে?
৭. 4 km প্রশস্ত একটি নদীর পাড়ের এক পাড়ের এক বিন্দু থেকে 12 km/h বেগে একটি নদীর অপর পাড়ে যাওয়ার যাওয়ার জন্য যাত্রা শুরু করলো। একজন লোক নৌকা চলার শুরু হতে অপর পারের ঠিক বিপরীত বিন্দুতে 20 মিনিট অপেক্ষা করে চলে গেল। নদীতে স্রোতের বেগ 6 km/h।
ক) ডট গুণন কি?
খ) নৌকার গুণ টানার ক্ষেত্রে নৌকার গতি কীভাবে বৃদ্ধি করা যায়?
গ) নৌকাটির লব্ধি বেগ কত?
ঘ) নৌকাটিকে কীভাবে চালনা করলে সোজা অপর পাড়ে পৌঁছাতে পারবে? অপেক্ষমান লোকটির সাথে সাক্ষাৎ হয়েছিলো কি?
৮. ইশান ও জয়ের মধ্যে তর্ক হচ্ছিল যে, দুটি অসমান মানের ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে পারে কি না? ইশান বলেছিল অবশ্যই পারে, জয় বলেছিলো কোনোদিনও সম্ভব না।
ক) ভেক্টর রাশি কী?
খ) একক ভেক্টর ও অবস্থান ভেক্টরের মধ্যে পার্থক্য ব্যাখ্যা কর
গ) দেখাও যে, একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুটি ভেক্টর রাশির মান সমান হলে এদের লব্ধি ভেক্টর রাশিদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
ঘ) ইশান ও জয়ের মধ্যে কে সঠিক?- গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা কর।
৯. একটি পিঁপড়া কোনো xy সমতলে পরপর ৪ টি গর্ত করলো। গর্তগুলোর x ও y উপাংশ যথাক্রমে (30, 40), (b, -70), (-20, c) এবং (-80, -70)। (মানগুলো সেন্টিমিটারে প্রকাশিত)।পিঁপড়াটির ৪ টি গর্তের জন্য চূড়ান্ত সরণের x ও y উপাংশ (-140, 20) সে. মি. পাওয়া গেলো।
ক) আয়ত একক ভেক্টর কাকে বলে।
খ) ভেক্টরের সর্বোচ্চ মান কত হতে পারে? ব্যাখ্যা কর।
গ) b ও c এর মান নির্ণয় কর।
ঘ) চূড়ান্ত সরণের মান ও দিক লেখচিত্র প্রকাশ করে পিঁপড়াটির গতিপথ কোন প্রকৃতির ছিলো সে সম্পর্কে ধারণা ব্যক্ত কর।
১০. কোনো এক রাতে ঝড়ো আবহাওয়ায় কোনো এক বিমানবন্দর থেকে বাংলাদেশ বিমানের একট এরোপ্লেন 500 km/h বেগে পূর্বদিকের সাথে 30° কোণ করে যাত্রা শুরু করলো। একই সময়ে মালয়েশিয়া এয়ারলাইন্সের একটি উড়োজাহাজ একই বেগে উলটো দিক থেকে যাত্রা শুরু করলো। বাতাস 50 km/h বেগে পূর্ব হতে পশ্চিমে বইছিলো। রাত দুইটায় কন্ট্রোল টাওয়ার হতে একজন উড়োজাহাজ দুটির দূরত্ব পরিমাপ করতে চাইলো।
ক) নাল ভেক্টর কাকে বলে?
খ) কোনো ভেক্টর রাশির কার্ল শূন্য হলে এর প্রকৃতি কেমন হতে পারে?
গ) উড়োজাহাজ দুটি প্রকৃতপক্ষে কত বেগে কোন দিকে চলছিলো?
ঘ) কন্ট্রোল টাওয়ার থেকে প্রাপ্ত কেমন হওয়া উচিত তা যৌক্তিকভাবে বর্ণনা কর।
আরও দেখুন:
