প্রশ্নের উত্তর ও সমাধানসমূহ: সম্ভাবনা (এইচএসসি উচ্চতর গণিত ২য় পত্র, ১০ম অধ্যায়) । পর্ব ১

পাঠগৃহ নেটওয়ার্কের "এইচএসসি সম্ভাবনা" সিরিজটি দুইভাগে ভাগ করা। একভাগ সুন্দর করে সম্ভাবনা বুঝিয়ে দেয়ার চেষ্টা করবে, পাশাপাশি ওই অংশটুকু থেকে যেসকল প্রশ্ন হতে পারে সেসব তুলে ধরবে। অন্যভাগের প্রথম পোস্ট এটি, যে ভাগ ওই ভাগের প্রশ্নের সমাধানগুলো করে দেবে। তাহলে প্রথমেই আমাদের জানা উচিত, প্রশ্নগুলো কী ছিল?

আজকের এই পর্বে যেসব প্রশ্নের উত্তর এবং সমাধান দেয়া হবে, সেসব প্রশ্নগুলো জানতে পড়ুন: HSC সম্ভাবনা: পর্ব ১।

তাহলে এবার সমাধান করা শুরু করা যাক।

জ্ঞানমূলক প্রশ্নের উত্তর

পর্ব ১ এর জ্ঞানমূলক প্রশ্নের ১ নং, ২ নং, ৩ নং, ৪ নং এবং ৬ নং প্রশ্নের উত্তর প্রশ্নটি যেই পর্বে দেয়া সেখানেই প্রশ্নের আগেই দেয়া আছে। এখানে আমরা ৫ এবং ৭ নং প্রশ্নের উত্তর দেব।

৫. নমুনা ক্ষেত্র এবং নমুনা বিন্দুর সম্পর্ক আলোচনা কর।

কতগুলো নমুনা বিন্দু নিয়েই একটি নমুনা ক্ষেত্র গঠিত হয়। অর্থাৎ, এদের মধ্যে সম্পর্ক এটিই যে নমুনা বিন্দু হচ্ছে নমুনা ক্ষেত্রের উপাদান এবং নমুনা ক্ষেত্র হচ্ছে নমুনা বিন্দুর সমাহার।

আমরা জানি, কোনো দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফলের সমাহারকে বা সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলা হয় এবং একটি নমুনা ক্ষেত্রের যতগুলো উপাদান রয়েছে তার প্রত্যেকটি আলাদা আলাদাভাবে একটি করে নমুনা বিন্দু।

যেমন, একটি ছক্কাকে একবার নিক্ষেপ করলে সেখানে সম্ভাব্য ফলাফল হতে পারে 1, 2, 3, 4, 5 কিংবা 6। এই ৬টির যেকোনো একটিই হবে। এর বাইরে যাওয়া সম্ভব নয়। এই 6টি ফলাফলকে একজায়গায় করে যে সেট প্রকাশ করা হয়, তাকেই নমুনা ক্ষেত্র বলে। অর্থাৎ, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} হচ্ছে নমুনাক্ষেত্র। এবং নমুনা ক্ষেত্রের প্রত্যেকটি উপাদান অর্থাৎ 1, 2, 3, 4, 5, 6 হচ্ছে একেকটি নমুনা বিন্দু।

৭. কতগুলো ট্রায়ালের সমষ্টিই পরীক্ষা এবং কতগুলো নমুনা বিন্দুর সমষ্টিই নমুনাক্ষেত্র।

(এই প্রশ্নের ২য় অংশের উত্তর আমরা আগের প্রশ্নটিতেই দিয়েছি। তাই শুধু প্রথম অংশের উত্তর দেব এখানে।)

আমরা জানি, কোনো ঘটনার সম্ভাব্যতা পরিমাণ করার জন্য নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে কোনো কাজ একবার মাত্র করা হলে তাকে ট্রায়াল বা চেষ্টা বলা হয় এবং কতগুলো নির্দিষ্ট শর্তে অধীনে কোনো একটি কাজ বা চেষ্টা বার বার করাই হলো পরীক্ষা বা পরীক্ষণ।

অর্থাৎ, ৫টি কলম কিনে কোনটির কালির কী রঙ তা জানার জন্য আলাদাভাবে ৫টি দাগ দেয়ার প্রত্যেকটি ঘটনাকে বলা বলা হবে আলাদা আলাদা ট্রায়াল এবং ৫টি ট্রায়ালকে একসাথে বলা হবে পরীক্ষা।

গাণিতিক প্রশ্ন

ক) বলটি হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা, P (হলুদ) = 12/24 = 1/2 = 0.5

খ) বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা, P (সাদা) = 4/24 = 1/6

গ) বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা, P (কালো) = 8/24 = 1/3

২. একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে,

নমুনাক্ষেত্র S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}