HSC Higher Math 2nd Paper: সম্ভাবনা (Probability) । পর্ব ১

সম্ভাবনা বা Probability এসএসসি সিলেবাসের বিজ্ঞান বিভাগের শিক্ষার্থীদের উচ্চতর গণিত এবং এইচএসসির শিক্ষার্থীদের উচ্চতর গণিত ২য় পত্রের সিলেবাসে রয়েছে। আমাদের এই ব্লগটি উভয় ক্লাসের শিক্ষার্থীদের জন্যই উপকারী হবে বলে মনে করি। এই একটি সিরিজ যদি প্রথম থেকে শেষ পর্যন্ত ভালোভাবে বুঝে নেয়া যায়, তাহলে আশা করা যায় HSC এর উচ্চতর গণিত ২য় পত্রের ১০ম অধ্যায়ের সম্ভাবনার অংশটুকু বেশি অংশই ক্লিয়ার হয়ে যাবে। তাহলে শুরু করে দেয়া যাক। প্রথমেই জেনে নেয়া যাক সম্ভাবনা বা Probability কাকে বলে?

সম্ভাবনা বা Probability কী?

কোনো একটি ঘটনা ঘটবে কি না, তার গাণিতিক পরিমাপই হলো সম্ভাবনা। কিংবা বলা যায়, কোনো একটি ঘটনার ফলাফল এবং এর অনুকুল ফলাফলের অনুপাতই হচ্ছে ওই ঘটনার ঘটার সম্ভাবনা।

সম্ভাবনার গাণিতিক প্রকাশ

সম্ভাবনার গাণিতিক রূপ,

সম্ভাবনা = (ঘটনার অনুকূল উপাদান সংখ্যা/ঘটনার মোট উপাদান সংখ্যা)

একটি উদাহারণের সাহায্যে ব্যাপারটি বুঝে নেয়া যাক।

উদাহারণ ১:

ধরা যাক, কোনো একটি ঝুড়িতে লাল বল আছে ৫টি, কালো বল আছে ৪টি। এখন সেই ঝুড়ি থেকে যদি একটি বল তোলা হয়, তবে তার কালো হওয়ার সম্ভাবনা কত হবে?

সমাধান:

সমাধান আমরা পুরোপুরি বইয়ের ভাষায় করব না এখন। বুঝানোর জন্য ব্যাখ্যা করে বলব। সম্ভাবনার সজ্ঞায় আমরা কী বলেছিলাম? সম্ভাবনা হলো কোনো একটি ঘটনার অনুকূল ফলাফল  ও  ওই ঘটনার মোট ফলাফলের সংখ্যার অনুপাত। এভাবে বুঝতে অসুবিধা হলে গাণিতিক প্রকাশের দিকে তাকানো যাক।

সম্ভাবনা = (ঘটনার অনুকূল উপাদান সংখ্যা/ঘটনার মোট উপাদান সংখ্যা)

তাহলে ঘটনার অনুকূল ফলাফল আমাদের উদাহারণের ক্ষেত্রে কতটি? আমাদেরকে বলা হয়েছে একটি ঝুড়িতে ২ রঙের বল আছে। এর মধ্য থেকে দৈব চয়নের ভিত্তিতে একটি বল তুলে নিতে তা কালো রঙের বল হওয়ার সম্ভাবনা কত? অর্থাৎ, এখানে কালো রঙের বলের সংখ্যা যতটি, ঘটনা ঘটার অনূকূল ফলাফল ততটি। অর্থাৎ এক্ষেত্রে ৪টি।

এবার প্রয়োজন মোট উপাদান সংখ্যা। এখানে মোট উপাদান কত? ঝুড়িতে বল আছে ৫টি লাল + ৪টি কালো। মোট ৯টি। অর্থাৎ এখানে মোট উপাদান সংখ্যা ৯। তাহলে সম্ভাবনা কত হবে?

সম্ভাবনা = `4/9` হবে এক্ষেত্রে।

আশা করি এতটুকু বুঝা গেছে। তবে এখানে আমরা কিছু শব্দ ব্যবহার করেছি। আপাতদৃষ্টিতে শব্দগুলোকে সাধারণ মনে হলেও সম্ভাবনার ভাষাতে এদের আলাদা সজ্ঞা রয়েছে যা জানা আমাদের জন্য গুরুত্বপূর্ণ। এই সজ্ঞাগুলো বুঝতে না পারলে আমরা যেমন সম্ভাবনার প্রশ্নগুলোর সমাধান করতে পারবো না ভালোভাবে, তেমনি এই প্রশ্নগুলো সৃজনশীল প্রশ্নের 'ক' নং প্রশ্ন এবং বহুনির্বাচনীতে বিভিন্নভাবে আসতে পারে। তাই সজ্ঞাগুলো আমাদের জানা উচিত। এমন সজ্ঞাগুলো নিচে দেয়া হলো।

সম্ভাবনার গুরুত্বপূর্ণ সজ্ঞাসমূহ

পরীক্ষা/পরীক্ষণ (Experiment)

কতগুলো নির্দিষ্ট শর্তে অধীনে কোনো একটি কাজ বা চেষ্টা বার বার করাই হলো পরীক্ষা বা পরীক্ষণ।

যেমন আলভা এডিসন বাল্ব আবিষ্কারের জন্য বাকিসব ঠিক রেখে শুধু ফিলামেন্টের জন্য অনেকবার পরীক্ষা করেন। যেহেতু বাকি সবকিছু একই ছিল, বলা যায় তা আমাদের সজ্ঞা অনুযায়ী সেই কতগুলো নির্দিষ্ট শর্ত। এই শর্তের অধীনে সে ফিলামেন্টের জন্য বিভিন্ন কিছু দিয়ে বারবার একটি কাজই বা চেষ্টাই করতে থাকেন। এই বারবার ধাতু বদলে দেখছিলেন যেখানে বাকিসব কিছু নির্দিষ্ট ছিল, তাই এই বারবার করা কাজটিই হলো পরীক্ষা বা পরীক্ষণ।

ট্রায়াল বা চেষ্টা (Trial)

কোনো ঘটনার সম্ভাব্যতা পরিমাণ করার জন্য নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে কোনো কাজ একবার মাত্র করা হলে তাকে ট্রায়াল বা চেষ্টা বলা হয়।

আগের উদাহারণ ব্যবহার করেই এবারের উদাহারণ দেয়া যাক। আগের উদাহারণে বলেছিলাম বারবার ধাতু পরিবর্তন করেছিলেন এডিসন। এই প্রত্যেকবারের পরিবর্তন একটি করে ট্রায়াল আর সবগুলো ট্রায়ালের সমষ্টি হলো পরীক্ষা বা পরীক্ষণ।

আরেকটি সহজ উদাহারণ দেয়া যাক। ধরুন, আপনি দারাজে ৫০% ছাড়ের ভাওচারের সাথে ফ্রি ডেলিভারির খবর পেয়ে প্রয়োজন না থাকা সত্ত্বেও ২০টি কলম কিনেছে। এই ২০টি কলমের প্রত্যেকটি ভালো কি না তা আপনি জানতে চাচ্ছেন। এজন্য একটি খাতায় আপনি এক এক করে ২০টি কলম দিয়ে কিছু লিখলেন। এইযে প্রতিবার একটি কলম দিয়ে লিখছেন, এর প্রতিটিই একটি ট্রায়াল। আর ২০টি কলম দিয়ে দাগ দেয়ার ঘটনাকে অর্থাৎ এই ২০টি ট্রায়ালকে একসাথে বলা হয় পরীক্ষা বা এক্সপেরিমেন্ট।

দৈব পরীক্ষা (Random Experiment)

যখন কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল আগে থেকেই জানা থাকে, কিন্তু পরীক্ষাটিতে কোনো একটি নির্দিষ্ট চেষ্টায় কী ফলাফল আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না, তাকেই দৈব পরীক্ষা বলে।

যেমন, যদি একটি পাত্রে যদি সাদা, কালো, নীল এবং লাল রঙের কয়েকটি বল রাখা হয় এবং সেখান থেকে একটি বল তোলা হয় তখন কী ঘটবে? তুলে নেয়া বলটি হয়তো সাদা হবে, নয়তো কালো বা নীল বা লাল। অর্থাৎ, ফলাফল কী কী হতে পারে, তা আমরা আগে থেকেই বলতে সক্ষম। কিন্তু এক্সাক্টলি কোনটি ওঠবে সেটা বলা সম্ভব না। এমন পরীক্ষাকে বলা হয় দৈব পরীক্ষা।

আরও একটি উদাহারণ দেয়া যাক। একটি লুডু খেলার ছক্কাতে ৬টি পিঠ থাকে যাতে ১ থেকে ৬ পর্যন্ত থাকে। অর্থাৎ একটি ছক্কা যদি মারা হয়, তাহলে কী কী ওঠতে পারে তা আমরা জানি। হয়তো ১ ওঠবে, নয়তো ২, ৩, ৪, ৫ কিংবা ৬। এর বাইরে কিছু ওঠবে না। কিন্তু একবারের চেষ্টায় ঠিক কী ওঠবে তা বলা সম্ভব না। তাই এটিও দৈব পরীক্ষা।

নমুনা ক্ষেত্র (Sample Space)

কোনো দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফলের সমাহারকে বা সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলা হয়। একে S দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এবং এর ফলাফলসমূহকে {} / দ্বিতীয় বন্ধনীর মধ্যে রাখতে হয়।

উদাহারণ দিয়ে বুঝা যাক। এতোক্ষণ যেসকল উদাহারণগুলো দিয়েছি, সেগুলোর নমুনাক্ষেত্র আগে দেখা যাক।

আমরা একটু আগেই একটি ছক্কা মারার উদাহারণ দেখলাম। সেখানে 1 থেকে 6 পর্যন্ত ফলাফল হতে পারে। এক্ষেত্রে Sample Space, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}। 

আবার যদি একটি মুদ্রা বা কয়েন নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করা হয় তাহলে কী হতে পারে? হয় Head হবে, নয়তো Tail। Head কে যদি আমরা H এবং Tail কে যদি T দ্বারা প্রকাশ করি তাহলে এক্ষেত্রে Sample Space হবে, 

S = {H,T}

এবার একটু অন্যভাবে ভাবা যাক। যদি একটি মুদ্রা বা কয়েন দুইবার নিক্ষেপ করা হয় (টস করা হয়) বা একই সাথে ২টি মুদ্রা বা কয়েন নিক্ষেপ করা হয় তখন কী হবে? নমুনাক্ষেত্র এখানে একই হবে। তবে ব্যাখ্যা হবে ২ রকম। আমরা প্রথম উদাহারণটি ব্যবহার করছি।

যদি একটি কয়েনকে একবার টস করে আবার আরেকবার টস করা হয়, অর্থাৎ দুইবার টস করা হয়, তাহলে কী কী ঘটনা ঘটতে পারে?

• ঘটনা ১: প্রথমবার Head (H) ওঠবে এবং পরেরবারও Head (H)-ই ওঠবে যাকে আমরা লিখতে পারি {HH}
• ঘটনা ২: প্রথমবার Head (H) ওঠবে এবং পরেরবার Tail (T) ওঠবে যাকে আমরা লিখতে পারি {HT}
• ঘটনা ৩: প্রথমবার T ওঠবে কিন্তু পরেরবার H ওঠবে। একে আমরা লিখতে পারি {TH}।
• ঘটনা ৪: প্রথমবার T ওঠবে এবং পরেরবারও T-ই ওঠবে। এই ঘটনাকে আমরা প্রকাশ করতে পারি {TT} দ্বারা।

তাহলে সম্ভাব্য সকল ফলাফলের সেট কী? অবশ্যই {HH, HT, TH, TT}। এর বাইরে অন্য কোনো ঘটনা কিন্তু ঘটতে পারে না।

তাহলে আশা করছি, নমুতা ক্ষেত্র বা Sample Space সম্পর্কে ধারনা পেয়ে গেছেন। এই নমুনা ক্ষেত্র বুঝার জন্য একটি সহজ পদ্ধতি আছে যার নাম Probability Tree। এটি সম্পর্কে আমরা পর্ব ২ - তে জানব।

নমুনা বিন্দু (Sample Point)

একটি নমুনা ক্ষেত্রের যতগুলো উপাদান রয়েছে তার প্রত্যেকটি আলাদা আলাদাভাবে একটি করে নমুনা বিন্দু।

সবশেষ উদাহারণের ৪টি ঘটনা HH, HT, TH এবং TT প্রত্যেকে আলাদাভাবে ৪টি নমুনা বিন্দু বা Sample Point। তেমনি S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এর ক্ষেত্রে নমুনা বিন্দু ৬টি। কোন ৬টি, তা আশা করি আপনারাই বুঝতে পারছেন।

সম্ভাবনার প্রথম পর্ব আপাতত শেষ। তবে শেষ করার আগে এখান থেকে পরীক্ষায় আসতে পারে এমন কিছু প্রশ্ন বলে দেয়া যাক।

গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন

জ্ঞানমূলক প্রশ্ন

গাণিতিক প্রশ্ন

বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

সৃজনশীল প্রশ্ন

এই প্রশ্নগুলো একেবারেই বেসিক। এগুলো থেকে নয়তো HSC তে পরীক্ষায় আসবেও না। তবে SSC এর উচ্চতর গণিত সিলেবাসের জন্য এই প্রশ্নগুলো গুরুত্বপূর্ণ। তবুও আমরা এসব প্রশ্ন দিয়ে শুরু করলাম যাতে আমরা বেসিক বুঝে ধীরে ধীরে সামনে এগোতে পারি। এই প্রশ্নগুলোর উত্তর নিয়ে আমাদের "HSC উচ্চতর গণিত ২য় পত্র: ১০ অধ্যায় (সম্ভাবনা) সমাধান ও উত্তরমালা" এর প্রথম পর্ব সাজানো। এবং এই সিরিজের ২য় পর্বে আমরা জানব Probability Tree বা সম্ভাবনা বৃক্ষ সম্পর্কে।

আমাদের ভুলত্রুটিগুলো আমাদেরকে ধরিয়ে দিন। সকলে মিলে নির্ভুলভাবে শেখাতে আপনিও অবদান রাখুন। আমাদের ভুলত্রুটিগুলো ধরিয়ে দিতে পারেন ব্লগের কমেন্টে, ফেসবুক পেজে মেসেজ করে কিংবা আমাদেরকে ইমেইল করে। আমাদের ফেসবুক পেজে যেতে ক্লিক করুন এখানে। আমাদের ইমেইল এড্রেস: pathgriho71@gmail.com। এছাড়া আমাদের ইউটিউব চ্যালেনেও আমাদের সাথে যুক্ত থাকতে পারেন।

পরবর্তী পর্বসমূহ