নবম-দশম শ্রেণি এবং একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণির গণিত বইয়ের বাস্তব সংখ্যা অধ্যায়ের একটি প্রশ্ন 'প্রমাণ কর যে, `sqrt7`, `sqrt3`, `sqrt5`, `sqrt10`, `sqrtX`, একটি অমূলদ সংখ্যা।' এই প্রশ্নটির উত্তরই আজকে আমরা করবো ব্যাখ্যাসহ। প্রত্যেকটি ধাপ ব্যাখ্যা করে বুঝিয়ে দেয়া হবে।
সূচীপত্র(toc)
প্রমাণ কর যে, `sqrt7` একটি অমূলদ সংখ্যা
প্রমাণ:
4 < 7 < 9
অর্থাৎ, `sqrt7` এমন একটি সংখ্যা যা 2 এর থেকে বড় কিন্তু 3 এর থেকে ছোট। কিন্তু 2 এর থেকে বড় এবং 3 এর থেকে ছোট কোনো পূর্ণসংখ্যা থাকতে পারে না। অর্থাৎ, এটি মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা।
মনে করে `sqrt7` একটি মূলদ সংখ্যা।
ফলে, `7=\frac{p^2}{q^2}` [উভয় পক্ষকে বর্গ করে।]
এখানে, 7q স্পষ্টত পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তু `p^2` এবং q এর মধ্যে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই `\frac{p^2}q` পূর্ণ সংখ্যা নয়।
সুতরাং, `\sqrt7=\frac pq` হতে পারে না।
ব্যাখ্যা
১. প্রথমে 'আমরা জানি' বলে যেই ৩ লাইন লিখেছি সেটা আমরা সবাই সত্যিই জানি। তবে কেন এখানে এসবই লিখতে হলো? এই প্রশ্নের উত্তর অনেকেরই জানা নেই।
আমাদের প্রমাণ করতে হতো 7 এর বর্গমূল অর্থাৎ `sqrt7` মূলদ সংখ্যা নয়, এটি একটি অমূলদ সংখ্যা। প্রথমেই আমরা যেই সংখ্যাটিকে অমূলদ প্রমাণ করতে হবে সেই সংখ্যাটি ক্যালকুলেটরে বসিয়ে তার মান কত তা বের করব। আমরা `sqrt7=2.645751311...` পাই। এখান থেকে বুঝাই যাচ্ছে যে এই সংখ্যাটি 2 এর থেকে বড় এবং 3 এর থেকে ছোট। তাই আমরা প্রথমে ৩য় লাইনটি লিখি, তারপর তাদের বর্গ করে প্রথম লাইন এবং তারপর দ্বিতীয় লাইনে তাদের প্রত্যেকের সাথে বর্গমূল চিহ্ন বসিয়ে দিই।
২. এই ৩ লাইনের পরে আমরা যে কথাটুকু বলেছি (অর্থাৎ, `sqrt7` এমন একটি সংখ্যা যা 2 এর থেকে বড় কিন্তু 3 এর থেকে ছোট। কিন্তু 2 এর থেকে বড় এবং 3 এর থেকে ছোট কোনো পূর্ণসংখ্যা থাকতে পারে না। অর্থাৎ, এটি মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা।) তার প্রথম অংশের ব্যাখ্যা করা হয়ে গেছে ইতিমধ্যে। এখন 2 ও 3 এর মাঝে অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা তো নেই। আমরা জানি যদি কোনো বাস্তব সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা না হয়, তবুও সেই সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা হতে পারে যদি তা মূলদ ভগ্নাংশ হয়, অন্যথায় তা অমূলদ সংখ্যা হবে। এ ব্যাপারে সন্দেহ থাকলে পড়তে পড়ুন: বাস্তব সংখ্যা কাকে বলে? বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস ও বৈশিষ্ট্য।
৩. এখন মনে করি সংখ্যাটি একটি মূলদ সংখ্যা। যদি এখান থেকে প্রমাণ করা যায় যে সংখ্যাটি আসলে মূলদ না, তাহলেই প্রমাণিত হয়ে যাবে যে সংখ্যাটি অমূলদ। তাই আমরা ধরে নিলাম সংখ্যাটি মূলদ এবং মূলদ সংখ্যার সজ্ঞানুসারে আমরা লিখলাম `\sqrt7=\frac pq` [এখানে p. q উভয়ে স্বাভাবিক সংখ্যা, `q \ne 0`, `q \ne 1` এবং p, q পরষ্পর সহমৌলিক।]
আপনার যদি মূলদ সংখ্যা সম্পর্কে সন্দেহ থেকে থাকে এবং মূলদ হতে গেলে কেন p, q কে সহমৌলিক হতে হবে এবং সহমৌলিক সংখ্যাই বা কী এসব নিয়ে জানার প্রয়োজন থাকে তবে পড়ুন:
৪. অতঃপর আমরা পরের লাইনে উভয় পক্ষকে বর্গ করি এবং তার পরের লাইনে q দ্বারা গুন করি। এরপর আমরা একদিকে পাই 7q অন্যদিকে `p^2/q`। এখানে 7 একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই তার সাথে q যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা তথা পূর্ণ সংখ্যাকে গুন করলে গুণফলও একটি পূর্ণসংখ্যা হবে। তাই 7q একটি পূর্ণসংখ্যা হলেও `p^2/q` পূর্ণসংখ্যা হতে পারে না। অর্থাৎ, এরা সমান না। এরা সমান না হলে একেবারে শুরুর লাইনও সঠিক না। অর্থাৎ `sqrt7` মূলদ সংখ্যাই না। সুতরাং এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।
প্রমাণ কর যে, `sqrt5` একটি অমূলদ সংখ্যা
4 < 7 < 9
প্রমাণ কর যে, `sqrt3` এবং `sqrt10` অমূলদ সংখ্যা
1 < 3 < 1
