এমন দুইটি ত্রিমাত্রিক বহুপদী P(x) ও Q(x) নির্ণয় কর যাদের একটি সাধারণ উৎপাদক (x – 2), ধ্রুবপদ 24 এবং অন্য উৎপাদকগুলো একমাত্রিক। বহুপদী দুইটির একটিকে হর ও অপরটিকে লব ধরে গঠিত ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।
দেওয়া আছে, দুটি ত্রিমাত্রিক বহুপদী P(x) এবং Q(x) এর সাধারণ উৎপাদক (x - 2)।
ধ্রুবপদ 24 এবং বাকি উৎপাদকগুলো একমাত্রিক।
(x - 2) যদি P(x) এবং Q(x) এর একটি উৎপাদক হয়, তবে
P (2) = 0 এবং Q (2) = 0 হবে।
সুতরাং, দুটি ত্রিমাত্রিক বহুপদী হবে,
`P (x) = x^3 - 6x^2 - 4x + 24` এবং
`Q (x) = 3x^3 - 4x^2 - 16x + 24`
এখন,
`P (x) = x^3 - 6x^2 - 4x + 24`
বা, `P(x) = x^3 - 2x^2 - 4x^2 + 8x -12x + 24`
বা, `P(x) = x^2 (x-2) - 4x (x-2) - 12 (x-2)`
বা, `P(x) = (x-2) (x^2 - 4x - 12)`
বা, `P(x) = (x-2) (x^2 - 6x + 2x -12 )`
বা, `P(x) = (x-2) {x (x-6) + 2 (x-6)}`
সুতরাং, `P(x) = (x-2) (x+2) (x-6)`
আবার,
`Q (x) = 3x^3 - 4x^2 - 16x + 24`
`= 3x^3-6x^2+2x^2-4x-12x+24`
`= 3x^2 (x-2) + 2x (x-2) - 12 (x-2)`
`= (x-2) (3x^2 + 2x - 12)`
`= (x-2)\{(\sqrt3x)^2+2\times\sqrt3x\times\frac1{\sqrt3}+(\frac1{\sqrt3})^2-\frac{37}3\}`
`= (x-2)(\sqrt3x+\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)(\sqrt3x-\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)`
এখন, P(x) কে হর এবং Q(x) কে লব ধরে গঠিত ভগ্নাংশ হবে `\frac{Q(x)}{P(x)}`
`\frac{Q(x)}{P(x)}\=\frac{(x-2)(\sqrt3x\+\{\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3})(\sqrt3x\-\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)}{(x-2) (x+2) (x-6)}`
`= \frac{(\sqrt3x+{\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3})(\sqrt3x-\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)}{(x+2)(x-6)}`
ধরি, `\frac{(\sqrt3x+{\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3})(\sqrt3x-\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)}{(x+2)(x-6)}` `\equiv\frac A{x+2}+\frac B{x-6}` ... 1 নং সমীকরণ
1 নং কে (x-2) (x-6) দ্বারা গুণ করে পাই,
`(\sqrt3x+\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)(\sqrt3x-\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)\equiv A(x-6)+B(x+2)`... 2 নং সমীকরণ
যেহেতু এটি একটী অভেদ, তাই x এর সকল মানের জন্যই এটি সত্য হবে।
তাই, 2 নং সমীকরণে x এর মান x = -2 বসিয়ে পাই,
`4 = A (-8) + B \times 0`
বা, A = 4/(-8) = -1/2
আবার, x = 6 বসিয়ে পাই,
84 = 0 + 8B
বা, B = 21/2
A এবং B এর মান, 1 নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, `\frac{(\sqrt3x+{\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3})(\sqrt3x-\frac{\sqrt{111}-\sqrt3}3)}{(x+2)(x-6)}=-\frac1{2(x+2)}+\frac{21}{2(x+6)}`
এটিই উক্ত ভংগ্নাশের আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ।
